Desigualdades con pi

Este divertimento forma parte del concurso de 2023. Puedes encontrar las bases en este enlace.

Delantal:

Esta quincena, como viene siendo habitual, celebramos el Día Internacional de las Matemáticas, que coincide con el Día de Pi. Ya hemos hablado varias veces de pi, en esta sección y en otras. Hoy traemos a colación uno de los famosos problemas geométricos de la Grecia clásica, la cuadratura del círculo. En una de las notables veces que las matemáticas influyen en el lenguaje común, se ha convertido en sinónimo de algo imposible. No en vano, desde que en 1882 Ferdinand von Lindemann probó que π es trascendente, ya sabemos que no hay manera de conseguir un cuadrado cuya área sea igual a la de un círculo dado.

¿Seguro? Como se suele decir, el demonio está en los detalles, y el problema pedía no usar más que una regla sin graduar y un compás. Si permitimos alguna herramienta más, como la cuadratiz de Hipias, o un simple rodillo o un odómetro, la construcción no solo es posible, sino sencilla. Cabría recordar en este caso, quizá utilizando la palabra “axiomas”, aquella célebre frase atribuida erróneamente a Groucho Marx: «Estos son mis principios. Si no le gustan, tengo otros».

(La imagen de la entrada está, valga la redundancia, a la entrada del Instituto de Matemáticas de la Universidad Técnica de Berlín. Se ha tomado de Wikimedia Commons.)

Divertimento:

VER VIDEO ANTERIOR

Consideremos un triángulo cuyos lados tienen longitudes a,b,c y sus ángulos opuestos tienen amplitudes A,B,C, expresadas en radianes. Demostrar que:

¿Cuándo se alcanzan las igualdades?

Solución:

Envía tus soluciones, hasta el viernes 17 de marzo, a la dirección divertimentos-blog-imus@us.es. La solución aparecerá el lunes 20 de marzo. Recuerda no dejar pistas en los comentarios hasta que no se publique la solución del problema.